مقاله اصل توازی

اختصاصی از یاری فایل مقاله اصل توازی دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 18

اصل توازی

پروکلوس1 : پروکلوس (410تا485 بعد از میلاد)، اطلاعات ما در زمینه هندسه یونان است، از اصل توازی بدین گونه انتقاد کرده است : ‹‹این را باید حتی از شمار اصول موضوعه بیرون آورد. زیرا این قضیه ای است که دشواریهای زیادی در بردارد. و بطلمیوس در کتابی به گشودن آنها همت گمارده است... این حکم که ، چون (دوخط) را هر چه بیشتر امتداد دهیم بیش از بیش بهم نزدیک می شوند و سرانجام همدیگر را می برند، پذیرفتنی است ولی نه همیشه ‹‹پروکلوس یک هذلولی را مثال می زند که آن اندازه که بتوان تصور کرد به مجانبهایش نزدیک می شود بی آنکه هرگز آنها را ببرد. این مثال نشان می دهد که لااقل ممکن است تصوری مخالف نتیجه گیریهای اقلیدس هم داشت. پروکلوس می گوید: ‹‹پس روشن است که باید برای این قضیة کنونی برهانی بیابیم و این، مخالف ماهیت خاص اصول موضوعه است.››

شکل 1

تا آنجا که می دانیم نخستین تلاشی که برای اثبات به عمل آمده از آن بطلمیوس بوده است. او ، بی آنکه خود متوجه باشد، اصل توازی هیلبرت را پذیرفته است.

پروکلوس سعی کرده است اصل توازی را چنین ثابت کند: دو خط موازی m,l داده شده اند. فرض کنیم خط n خط m را در نقطة p می برد. می خواهیم نشان دهیم که n خط l را هم می برد. فرض می کنیم Q پای عمودی باشد که از p بر l وارد شده است. اگر n بر PQ منطبق باشد، پس l را در Q بریده است و الا نیمخطی مانند PY از n بین PQ و نیمخطی مانند PXاز m قرار دارد . فرض کنید که X پای عمود مرسوم از Y بر m است.

شکل 2

حال ، وقتی نقطه Y بر خط n از نقطه P بینهایت دور شود، پاره خط XY اندازه اش بینهایت بزرگ می شود و سرانجام از پاره خط PQ تجاوز می کند. بنابراین ، Y باید از l بگذرد و در طرف دیگر آن قرار گیرد، یعنی n باید l را ببرد.

مطالب بند بالا جان کلام و برهان پروکلوس است؛ برهان نسبتاً پیچیده ای است که شامل حرکت و پیوستگی است. از آن گذشته ، درستی هر مرحله از برهان را می توان نشان داد جز اینکه نتیجه ای که می خواهیم از آن به دست نمی آید!

چگونه می توان درستی آخرین مرحله را ثابت کرد؟ فرض می کنیم عمود YZ را از Y بر l فرود آورده ایم. آن وقت شما می توانید بگویید که (1) Z,Y,X بر یک قرار دارند، و (2) XZ~PQ . بنابراین ، هنگامی که XY از PQ بزرگتر می شود، باید از XZ هم بزرگتر شود. و در نتیجه Y باید در طرف دیگر l قرار گیرد. در اینجا نتایج ، واقعاً از احکام (1)و(2) حاصل می شوند. مشکل کار این است که اثباتی برای درستی این دو حکم وجود ندارد!

اگر گفتة ما ، شما را به تأمل وا می دارد علتش این است شکل 2 احکام (1)و(2) را درست به نظر جلوه می دهد. باید یادآوری کنم که ما مجاز نیستیم برای درستی اثبات یک مرحله، از شکل استفاده کنیم. هر مرحله باید از روی بنداشتها و یا از روی قضایایی که قبلا ثابت شده اند ثابت شود.

والیس

مهمترین تلاشی که بعداً برای اثبات اصل توازی به عمل آمده است از منجم و ریاضیدان ایرانی خواجه نصیرالدین طوسی (1274-1201) است. ولی چون در اثبات او چند فرض وجود دارد که درستی آنها ثابت نشده است آن را رها می کنیم و به جان والیس 1 میپردازیم. والیس تلاش برای اثبات اصل توازی در هندسة نتاری را رها کرد و در عوض بنداشت تازه ای که حس می کرد بیش از اصل توازی مقبول است طرح نمود، سپس اصل توازی را از روی این بنداشت تازه و بنداشتهای دیگر هندسة نتاری ثابت کرد.

اصل والیس: مثلث نامشخص ΔABC و پاره خط نامشخص DE داده شده اند. مثلثی مانند ΔDEF (به ضلع DE) وجود دارد چنانکه با ΔABC متشابه است (و چنین نموده میشود: ΔDEF~ΔABC).

یادآوری می کنیم که مثلثهای متشابه مثلثهایی را گویند که بتوان یک تناظر یک .