مقدمه
معرفی معادلات دیفرانسیل
معادله در ریاضیات وقتی با اسم خاص و صورت خاص می آید خود به تنهایی مسأله ای را نمایش می دهد که در آن می خواهیم مجهولی را بدست آوریم.
کاربرد معادله دیفرانسیل از نظر تاریخی با معرفی مفهوم های مشتق و انتگرال آغاز گردید. ساده ترین نوع معادله دیفرانسیل آن دسته از معادلاتی هستند که مشتق تابع جواب را داشته باشیم. که چنین محاسبه ای به پاد مشق گیری و انتگرال گیری نامعین موسوم است.
معادلات دیفرانسیل وابستگی بین توابع و مشتق های توابع را نشان می دهد. که از لحاظ تاریخی به طور طبیعی از زمان کشف مشتق به وسیله نیوتن ولایب نیتس آغاز می شود. (قرن هفدهم میلادی). که با رشد سریع علم و صنعت در قرن بیستم روشهای عددی حل معادلات دیفرانسیل مورد توجه قرار گرفتند که توسعه و پیشرفت کامپیوتر ها در پایان قرن بیستم موجب کاربرد روش های تقریبی تعیین جواب معادلات دیفرانسیل در بسیاری از زمینه های کاربردی گردید که باعث بوجود آمدن مباحث جدید در این زمینه شد.
نمادها و مفاهیم اساسی
اگر تابعی از متغیر حقیقی باشد و ضابطه آن و متغیر تابع یا مقدار تابع باشد، آنگاه مشتق با یکی از نمادهای نمایش داده می شود. همچنین مشتق دوم، سوم،... و ام آن نیز به ترتیب با نمادهای
نمایش داده می شوند. اگر تابعی از دو متغیر حقیقی باشد آنگاه مشتق های جزئی با نمادهای نمایش داده می شوند. همچنین اگر آنگاه مشتق های جزئی با نمادهای و یا
نمایش داده می شوند.
همچنین داریم:
که این توابع مشتقات جزئی مرتبه دوم و مراتب بالاتر است.
همچنین برای توابع متغیر حقیقی داریم:
که فرض می کنیم همه مشتقات جزئی تا مرتبه مورد نظر پیوسته باشند.
حال برای تابع از متغیر حقیقی با مقدار حقیقی را دیفرانسیل تابع گویند. اگر تابع از متغیر حقیقی باشد.
را دیفرانسیل کامل تابع گویند. که در حالت خاص اگر از دو متغیر حقیقی با مقدار حقیقی باشد داریم:
معادلات دیفرانسیل معمولی و با مشتقات جزئی
یک معادله دیفرانسیل هر کدام از توابع ضمنی از متغیر یا متغیرهای مستقل، متغیر یا متغیرهای تابع و مشتق های متغیر یا متغیر های تابع نسبت به متغیر یا متغیرهای مستقل می تواند باشد که حتماً باید لا اقل یک مشتق ساده یا جزئی در آن حضور داشته باشد.
معادله دیفرانسیل یک نوع از معادلات دیفرانسیل است که فقط یک متغیر مستقل در آن وجود دارد. و متغیر تابع و
مشتقات مرتبه اول تا ام نسبت به است. متغیر می توانند در معادلات دیفرانسیل نباشند ولی حضور لااقل یک مشتق الزامی است. معادله دیفرانسیل
یک نوع معادله است که شامل متغیر مستقل است و فقط یک متغیر تابع دارد که در آن تابعی از ها است.
برای دسته بندی معادلات دیفرانسیل می گوییم هرگاه همه مشتق های ظاهر شده در معادله مشتق ساده باشند آنگاه معادله را معادله دیفرانسیل معمولی (یا ساده یا عادی) می نامیم. اما اگر در عبارت معادله لااقل یک مشتق جزئی ظاهر شود آن را یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی یا معادله دیفرانسیل نسبی می نامیم.
معادلات دیفرانسیل زیر از جمله معادلات دیفرانسیل مهم هستند:
(معادله خطی غیر همگن)؛
(معادله بزنولی)
(معادله ریکاتی)
(معادله لا پلاس)
(معادله کلرو) غیر خطی؛
(معادله لاگرانژ) غیر خطی؛
(معادله یک بعدی حرارتی) ثابت؛
(معادله اولر) ثابت؛
(معادله لژ اندر) ثابت؛
(معادله بسل) ثابت نا منفی؛
(معادله پواسن)
(معادله یک بعدی موج) ثابت؛
(معادله ترافیک)
(معادله لاگرانژ)
(معادله پفافی)
(معادله ارتعاش تیر) ثابت
از معادلات دیفرانسیل فوق معادلات (3)(4)(5)(7)(8)(10)(11)(12) معادلات دیفرانسیل معمولی و بقیه معادلات دیفرانسیل نسبی می باشند.
اگر بخواهیم یک معادله را به صورت دیفرانسیلی بنویسیم می توانیم به جای عبارت را جایگزین کنیم. مثلاً برای معادله به صورت
است.
یک روش دیگر برای دسته بندی معادلات دیفرانسیل استفاده از مرتبة آنها است که مرتبة یک معادله دیفرانسیل عبارت است از بزرگترین مرتبه مشتق یا مشتقات ظاهر شده در عبارت معادله دیفرانسیل. با توجه به معادلات فوق می بینیم که معادلات (3) و(4)و(5)و(7)و(8)و(15)و(16)و(17) معادلات مرتبه اول و معادلات (6)و(9)و(10)و(11) و(12)و(13)و(14) معادلات مرتبه دوم و معادله دیفرانسیل (18) یک معادله مرتبه چهارم است.
وقتی معادلات دیفرانسیل هر کدام دارای بیش از یک متغیر تابع باشند در این صورت معادلات به تنهایی ظاهر نمی شوند و مجموعه ای از آنها مورد استفاده قرار می گیرد که اغلب تعدادشان با تعداد متغیرهای تابع برابر است. این گونه معادلات را دستگاه معادلات دیفرانسیل می نامیم.
یک روش دیگر برای دسته بندی معادلات دیفرانسیل استفاده از مفهوم خطی بودن یا غیر خطی بودن معادلات دیفرانسیل است.
یک معادله دیفرانسیل معمولی یا با مشتقات جزئی داده شده را یک معادله دیفرانسیل خطی در مجموعه متغیرهای تابعی اش گوئیم هر گاه:
1) متغیر یا متغیرهای تابع از توان یک باشند.
2) متغیر تابع یا متغیرهای تابع و مشتقات، ضریب متغیرهای تابعی و مشتقات آنها نباشند.
3) خود متغیر تابعی غیر خطی نباشد.
در غیر این صورت اگر هر کدام از شرطهای بالا نقص شود معادله دیفرانسیل غیر خطی است از معادلات مهم که ارائه کردیم معادلات (3)و(6)و(9)و(10) و(11) و(12) و(13) و (14) و (18) خطی هستند و معادله (4) (به دلیل حضور ) و (5) (به دلیل حضور )، (7) (به دلیل غیر خطی بودن ) و (8) (برای لا اقل غیر خطی بودن )
غیر خطی هستند. معادلات (16) و (17) می توانند خطی یا غیر خطی باشند.
همچنین می توان خطی بودن را نسبت به یک عامل از معادله دیفرانسیل، مانند متغیر تابع یا متغیرهای تابع، یا مشتق از مرتبه مشخصی تعیین نمود. این گونه معادلات نیمه خطی یا شبه خطی نامیده می شوند. مثلاً معادله
که یک معادله غیر خطی نسبت به متغیر تابع به دلیل حضور و همچنین به علت حضور است را می توان یک معادله خطی نسبت به مشتقات جزئی نامید. یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول خطی معمولی به صورت کلی
و معادله مرتبه دوم خطی معمولی نیز به صورت کلی
نمایش داده می شوند. صورت کلی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه ام خطی طولانی و پیچیده است. که در اینجا معادلات مرتبه اول و دوم خطی از آنها را نمایش می دهیم. ولی می توان با کمک از معادلات دیفرانسیل مراتب اول و دوم معادلات مراتب بالاتر را نیز نوشت.
معادله زیر یک صورت عمومی از معادلات با مشتقات جزئی مرتبه اول خطی از متغیر مستقل با یک متغیر تابع است.
که در آن توابع ضریب و تابع طرف دوم است که اگر ، صفر باشد معادله همگن خطی و در غیر این صورت معادله غیر همگن خطی نامیده می شود. معادلات با مشتقات جزئی مرتبه دوم به صورت کلی زیر است:
که در آن
توابع متغیر حقیقی معلوم هستند که به آنها توابع ضریب معادله خطی گویند. تابع متغییر حقیقی معلوم تابع طرف دوم نامیده می شود.
جواب یک معادله دیفرانسیل
یک تابع یا مجموعه ای از توابع (مانند یک تایی مرتب از توابع) را جواب یک معادله دیفرانسیل گوییم هرگاه با قرار دادن تابع یا توابع در عبارت معادله به جای متغیر یا متغیرهای تابع و مشتقات آنها معادله به یک اتحاد بر حسب متغیر یا متغیرهای نابسته تبدیل شود. که در صورت گذاشتن مقدار در آنها این اتحاد برقرار باشد.
جواب یک معادله دیفرانسیل معمولی تابعی از متغیر حقیقی با مقدار حقیقی یا با مقدار برداری است که اگر متغیر مختلط باشد مقدار نیز مختلط خواهد بود. جواب یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی تابعی از دو یا به طور کلی متغیر است که مقدار آن حقیقی یا برداری است.
به عنوان مثال تابع جوابی از معادله دیفرانسیل معمولی زیر است:
همچنین جوابی از معادله دیفرانسیل نسبی زیر است:
یک معادله دیفرانسیل می تواند دارای جوابهای گوناگونی باشد. که جوابی را که برای یک معادله دیفرانسیل معمولی در تعدادی شرایط در یک نقطه یا مجموعه ای از نقاط از دامنه تابع جواب صدق می کند و به صورت یگانه ای بدست می آید جواب ویژه یا خصوصی معادله دیفرانسیل است . البته ممکن است دو یا چند جواب در شرایط صدق کنند ولی یکی از آنها جواب خصوصی است .
برای یک معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه n ام از یک متغیر تابع ، تابعی را که با n ثابت دلخواه نا بسته از یکدیگر بر حسب متغیر مستقل و متغیر تابع بیان و همه جوابهای خصوصی معادله با انتخاب هر مقدار مشخصی برای ثابتها از آن بدست می آیند جواب عمومی معادله گویند .
برای یک معادله دیفرانسیل معمومی مرتبه n ام ، جواب عمومی به صورت کلی زیر است :
اگر تابع ثابت صفر جوابی از یک معادله دیفرانسیل معمولی یا با مشتقات جزئی باشد آن را جواب بدیهی معادله می نامیم. مثلاً معادله دارای جواب بدیهی و معادله دارای جواب بدیهی است.
برای تعیین جواب معادلات دیفرانسیل معمولاً روشهایی را بکار می بریم که ممکن است حل یک معادله دیفرانسیل عبارت معادله را با اعمال جبری مجاز تغییر دهیم که با انجام این اعمال ممکن است جوابی از معادله را نادیده انگاشته باشیم که این جواب را جواب حذف شده معادله می نامند.
خانواده جواب های خصوصی در مورد برخی از معادلات مانند معادلات کلرو نیز معمولاً جواب معادله می باشند. که چنین جواب هایی را جواب تکین یا جواب غیر عادی معادله دیفرانسیل می نامند. مثلاً برای معادله
تابع جواب عمومی آن و تابع جواب غیر عادی آن است.
برای یک معادله دیفرانسیل جوابی از آن که همه جواب های معادله را در بر گیرد جواب کامل یا انتگرال کامل معادله می خوانند. که این مفهوم برای معادلات دیفرانسیل خطی غیر همگن به کار برده می شود.
البته هدف ما در این مجموعه حل عددی معادلات دیفرانسیل است و تنها روش های عددی حل معادلات را مورد بررسی قرار می دهیم.
تفسیر هندسی جواب خصوصی و عمومی
می دانیم اگر تابع دو متغیره پیوسته ای روی ناحیه ای از صفحه باشد آنگاه معادله ضمنی
یا دارای هیچ جوابی نیست مانند . یا یک جواب دارد مثل یا نمایش یک منحنی در صفحه است . جواب عمومی معادلات دیفرانسیل معمولی به شکل زیر هستند :
که این معادله نمایش یک منحنی در صفحه است. که این موضوع برای جوابهای عمومی به صورت
نیز قابل بیان است. این منحنی ها به پارامترهای ثابت دلخواه وابسته هستند و خانواده یک پارامتری از منحنی ها را در صفحه نمایش می دهند. به هر یک از اعضای این خانواده منحنی یک منحنی انتگرال یا منحنی جواب معادله می گویند.
همچنین یک جواب خصوصی معادله با منحنی ای مشخص می شود که از یک یا چند نقطه مشخص می گذرد .
جوابهای معادلات دیفرانسیل با بیش از یک متغیر تابع نیز معمولا یک منحنی در فضای و یا به طور کلی در را نمایش می دهند . به عنوان مثال معادله
که در آن نیروی مؤثر بر نقطه مادی توابعی از متغیر می باشند و منحنی های
مسیر متحرکی را نمایش می دهد که دارای شتاب لحظه ای است.
نمودار تابع جواب معادله فوق در فضای قرار دارد .
از نظر هندسی جوابهای معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی با توجه به وضعیت وابستگی متغیر تابع به لا اقل دو متغیر ، در حالت دو متغیره ، یک رویه در است .
شرایط اولیه و شرایط مرزی
تعیین جوابهای خصوصی در معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی همیشه به کمک مجموعه ای از شرایط امکان پذیر است که بر روی جواب اعمال می شود یا در مسائل فیزیکی به عنوان اطلاع به ما داده میشوند که این گونه شرایط به طور کلی به دو دسته تقسیم می شوند:
الف ) شرایط اولیه
ب ) شرایط مرزی ( حدی یا کرانه ای )
شرایط اولیه برای یک معادله دیفرانسیل معمولی ، شرایطی بر روی جواب معادله اند که همه در یک نقطه از دامنه تابع جواب داده شده اند. این شرایط برای یک معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه از یک متغیر تابع به صورت زیر داده می شوند :
که در آن نقطه ای از دامنه تابع جواب مقادیر ثابت داده شده اند. این شرایط برای یک معادله مرتبه اول فقط از شرط اول تشکیل شده است. که حاکی از مختصات نقطه ای از صفحه مانند
است که جواب خصوصی مورد نظر از آن می گذرد .
برای یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم فقط دو شرط اول مورد استفاده قرار می گیرد که حاوی اطلاعاتی در مورد منحنی جواب مورد نظر است که از نقطه می گذرد و در این نقطه دارای ضریب زاویه است.
در مورد معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی آن نسبت به آن متغیر مستقل داده می شوند. شرایط مرزی مجموعه شرایطی بر روی جواب معادله اند که معمولا تعداد آنها حد اقل دو می باشد. به طور کلی شرایطی را که به ازای مقادیری از متغیر مستقل یا متغیرهای مستقل داده می شوند شرایط مرزی می گویند.
برای یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم معمولی شکل عمومی شرایط مرزی به صورت زیر است:
که و دو نقطه از دامنه تابع جواب و ثابت های داده شده اند یک شکل ساده شرایط فوق به صورت زیر است :
شکل عمومی شرایط مرزی برای معادلات دیفرانسیل مرتبه ام از یک متغیر تابع معمولی به صورت زیر است:
که در آن
نقطه داده شده و متمایز از دامنه تابع جواب می باشند .
مثلا ً برای معادلات این شرایط به صورت
هستند.
بنابراین برای یک منحنی انتگرال که می خواهیم از دو نقطه داده شده
بگذرد شرایطی از نوع مرزی بکار می رود.
همچنین مسائل معادلات دیفرانسیل را به مسائل با شرایط مرزی و مسائل با شرایط اولیه مشخص می کنیم.
در این مجموعه ما به گرد آوری روشهای عددی حل معادلات دیفرانسیل می پردازیم و بیشتر با آنالیز عددی سر و کار داریم . که آنالیز عددی شامل مطالعه ، توسعه و تجزیه و تحلیل الگوریتم ها برای بدست آوردن جوابهای عددی مسایل مختلف ریاضی است ، که به آن محاسبات علمی می گویند .
« بخش اول»
«حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی»
فصل اول: معادلات دیفرانسیل معمولی تحت شرایط اولیه
مقدمه
معادلات دیفرانسیل مرتبه اول به صورت زیر نمایش داده می شوند :
که شاخه ای از آن را که به حل عددی آن می پردازیم می توانیم به صورت زیر از معادله بالا بدست آوریم :
که مسئله با شرایط اولیه آن به صورت زیر است :
حال ابتدا قضایای وجود و یگانگی جواب را در مورد این معادلات بررسی می کنیم و بعد به ارائه روشهای عددی مناسب برای حل آن می پردازیم .
1.1 در این قسمت در مورد اینکه برای یک معادله دیفرانسیل جوابی وجود دارد و اگر این جواب هست آیا یکتا است یا نه بحث خواهیم کرد .
مدل ما یک مساله مقدار اولیه به شکل زیر است :
هدف ما از حل این معادله یافتن مقدار مجهول است . و معادله
یک مقدار خاص از تابع ( f ) x را مشخص می سازد . و همانطور که می دانیم مشتق یک تابع شیب آن تابع را در نقطه مورد نظر ارائه می کند . همچنین داریم :
در مورد وجود جواب برای معادله دیفرانسیل قضیه ای را بیان می کنیم :
قضیه 1 : اگر در یک مستصیل به مرکز مثلاً
پیوسته باشد آنگاه مساله مقدار اولیه (1 ) یک جواب به ازای
خواهد داشت که در آن ماکسیمم در مستطیل می باشد.
اما حتی اگر پیوسته باشد ممکن است که مساله مقدار اولیه (1) دارای جواب منحصر به فرد نباشد .
قضیه 2 :اگر بر مستطیل تعریف شده پیوسته باشد آنگاه مساله مقدار اولیه (1 ) بربازه یک جواب منحصر به فرد دارد .
قضیه 3 از نوع دیگری است که به ما اجازه می دهد به وجود یکتایی یک جواب بر روی یک بازه از پیش تعیین شده پی می بریم .
قضیه 3 : اگر در نوار پیوسته باشد و در نا مساوی
صدق کند آنگاه مساله مقدار اولیه (1) یک جواب منحصر به فرد در دارد. که این نا مساوی یک شرط لیپشیتز در متغیر دوم است .
بسیاری از معادلات دیفرانسیل دارای جواب های شناخته شده به صورت توابع معمولی نیستند در نتیجه این گونه معادلات را نمی توان با روش مرسوم حل کرد. کاربرد سرهای تابعی به عنوان جواب این گونه معادلات، یکی از روشهای مهم در حل معادلات دیفرانسیل می باشد.
سری توانی زیر را سری تیلور می نامیم.
حال قضیه مهم تیلور را بیان می کنیم:
قضیه: اگر آنگاه برای هر دو نقطه در
که در آن
و نقطه ای بین است.
در واقع این قضیه شکل دیگری از سری تیلور را نشان می دهد.
حال به شرح روش سری تیلور می پردازیم.
1. 2 روش سری تیلور
فرمت این مقاله به صورت Word و با قابلیت ویرایش میباشد
تعداد صفحات این مقاله 218 صفحه
پس از پرداخت ، میتوانید مقاله را به صورت انلاین دانلود کنید
دانلود مقاله حل عددی معادلات دیفرانسیل
