«روشهای تفاضل متناهی»
روابط واضح یا غیرواضح بین مشتقات و مقادیر توابع در نقاط آغازی وجود دارد.
نقاط آغازی بر روی [a,b] می تواند به وسیله [j= 1,2,…,N] و xj= a+jh به طوریکه ، ، در نظر گرفته شود.
این عبارت برای مشتقات تحت شرایط مقادیر تابعی است.
جواب مسأله مقدار مرزی یک تفاضل متناهی بوسیله جایگذاری معادله دیفرانسیل در هر نقطه آغازین به وسیله یک معادله تفاضلی بدست می آید.
با در نظر گرفتن شرایط مرزی در معادلات تفاضلی، سیستم جبری معادلات مورد حصول حل می شود، این یک جواب عددی تخمینی برای مسأله مقدار مرزی بدست می دهد.
- Linear Second Order Differential Equations
[معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم] [صفحه 5, 4 ]
به معادله دیفرانسیل مرتبه دوم زیر توجه می کنیم:
، (46)
در رابطه با شرایط مرزی نوع اول: ، (47)
مقدار قطعی u(m) از با مشخص شده و مقدار تقریبی آن با ، با استفاده از سریهای تیلورها می توانیم مشخص کنیم که:
( .42)
به طوری که و
(49)
به طوری که
ما فرض کردیم که پیوستگی بدین صورت است:
به طوری که .
با در نظر گرفتن شرایط در 48 ، 49 و جایگذاری در 46 ، تفاضل تقریبی متناهی معادله دیفرانسیل مذکور در به صورت زیر است:
( .50)
شرایط مرزی ( .42) به صورت زیر تبدیل می شود:
( .51)
پس از ضرب با ، ( .50) می تواند به صورت زیر نوشته شود:
و ( .52)
به طوری که:
و و
سیستم ( .52) در نوشتار ماتریسی، پس از لحاظ شرایط مرزی، تبدیل می‌شود به:
( .53) Au=b
به طوری که:
حل سیستم معادلات خطی ( .53) جواب تفاضل متناهی معادله دیفرانسیل ( .46) را ارائه می دهد که پاسخگوی شرایط مرزی مدنظر است.
اشتباه بریدگی داخلی. (p.565) (خطای برش)
غلط بریدگی داخلی از معادله ( .52) بوسیله
( .54)
نشان داده می شود. به طوری که
بسط هر شرط در طرف اول معادله ( .54) در سری تیلور آن مول ، بدست می دهد:
( .55)
به طوری که .
بنابراین روش مذکور، روش حل معادله مرتبه دوم می باشد.
شرایط مرزی اشتقاقی: (p.596)
هم اکنون توجه خود را به شرایط مرزی نوع سوم معطوف می کنیم:
( .56)
تفاضل تقریبی معادله دیفرانسیل ( .46) در گره‌های داخلی j=1,2,…,N ، بوسیله معادله ( .52) داده شده که دارای N+2 مجموع در N معادله میباشد. هم اکنون ما نیاز داریم دو یا چند معادله متناظر برای شرایط مرزی ( .56) بیابیم.
با حذف شرایط در ( .48) ، تفاضل تقریبی متناهی ( .56) به صورت زیر می باشد:
در : یا
( .57)
در یا
( .58)
به طوری که و ، مقادیر تابعی در و می باشند. گره‌های و خارج از بازه [a,b] قرار دارند و گره‌های غیرواقعی خوانده میشوند:
دیفرانسیل:
مقادیر و می توانند با این فرض که معادله تفاضلی ( .52) برای N+1 و j= 0 در نقاط مرزی و باقی می ماند و می تواند نادیده گرفته شود.
جایگذاری مقادیر و در ( .57) و ( .58) در معادلات ( .52) به ازای N+1 و j= 0 ما را می رساند به:
( .59)
معادلات ، ( .52) ، و یک سیستم سه‌گانه از معادلات بوجود می آورند.
تا زمانی که تفاضل تقریبی ( .52) برای معادله دیفرانسیل ( .46) و تفاضلات تقریبی ( .59) برای شرایط مرزی ( .56) ، همگی مرتبه دوم هستند. تمام معادلات برای ، همچنین مرتبه دوم هستند.
به طور متقابل، ما نمی توانیم از نقاط غیرواقعی ، استفاده کنیم. در این مورد ما می توانیم از تقریب های زیر استفاده کنیم:
یا
( .60)
( .61)
یا
تا زمانی که تقریب های ( .60) ، ( .61) از نوع اول هستند، تمام معادلات
( .60) ، (7.62) و (7.61) برای j= 0,…,N+1 نمی توانند مرتبه دوم بمانند. این معادلات همچنین یک دستگاه معادلات تشکیل می دهند.
یا
( .62)
یا
( .63)
تا زمانی که تقریب های ( .62) و ( .63) از مرتبه دوم هستند، تمام معادلات ( .62)، ( .52) و ( .63) برای همچنین از مرتبه دوم هستند. اگر ما را از ( .62) که از اولین معادله مجموعه ( .52) استفاده می کند. و را از ( .63) که از آخرین معادله مجموعه ( .52) حذف کنیم سپس معادلات حاصله یک دستگاه معادلات سه‌گانه تشکیل می‌دهند.
روش مرتبه چهارم در غیاب در ( .46) . (p.598)
به معادله دیفرانسیل زیر توجه کنید:
( .64)
که در ارتباط با شرایط مرزی نوع اول ( .42) است.
برای این مسئله ما می توانیم یک روش مرتبه بالاتر یا مرتبه چهارم بسازیم. ما معادله دیفرانسیل را به صورت زیر:
( .65)
و یک روش Numeruv برای حل آن می نویسیم.
( .66)
( .67)
شرایط مرزی اشتقاقی برای ( .56) . (p.598)
بار دیگر توجه خود را به شرایط مرزی نوع سوم معطوف می کنیم:
( .68)
( .69)
نظر به اینکه روش Numeruv ( .67) برای ( .65) از مرتبه چهارم میباشد، به تقریبات مرتبه چهارم برای و نیاز داریم. با ، و با استفاده از بسط سری تیلور می نویسیم:
( .70)
با استفاده از قانون سیسمون برای بررسی کران انتگرال طرف راست داریم:
( .71)
به طوری که و
تخمین خطا از می باشد.
هم اکنون به یک تخمین برای نیاز داریم. با استفاده از سریهای تیلور می نویسیم:
( .72)
تخمین خطار از می باشد. اگر تخمین ( .72) در ( .71) مورد استفاده قرار گیرد، سپس مرتبه‌اش را با حفظ می کند. بنابراین با شکل دادن ( .71) ، ( .70) و ( .72) تخمین زیر را داریم:
( .73)
( .74)
به طوریکه با حل کردن برای داریم:
که از می باشد با جایگذاری در ( .68) ، تقریب تفاضلی صحیح از داریم که در x =a صحیح است به صورت زیر:
( .75)
به طور مشابه می نویسیم:
( .76)
بار دیگر با استفاده از قانون سیسون برای بررسی طرف راست انتگرال داریم:
( .77)
به طوری که ؛
تخمین خطار از است.
هم اکنون با استفاده از بسط سری تیلور می نویسیم:
( .78)
تقریب خطا از می باشد. بنابراین با شکل دادن ( .76) ، ( .77) و (7.78) تقریب را بدین صورت داریم:
( .79)
به طوری که ( .80)
با حل کردن برای بدست می آوریم.
( .81)
که از است.
با جایگذاری در ( .69) تقریب تفاضل را که در x =b صحیح است بدست می آوریم که بدین صورت است.
( .82)
به جای تقریبی که در ( .78) داده شده، همچنین می توانیم از عبارت زیر استفاده کنیم:
پس بجای تقریب داده شده در (7.80) داریم:
( .83)
مثال 1. حل کنید مسأله مقدار مرزی زیر را با و به کار بردن متد فوق.
؛ ؛
حل. بازه بسته [0,1] را به چهار زیر جازه تقسیم می کنیم، نقاط گره‌ای عبارتند از:
، ؛
روش حل معادله دیفرانسیل مرتبه دوم یک دستگاه معادلات زیر را بدست می دهد.
با ضرب در طرفین معادله بالا بدست می آوریم:
برای داریم.
با به کار بردن شرایط مرزی داریم:
مثال 2: مسأله مقدار مرزی زیر را وقتی حل کنید.
؛ و
حل: با به کار بردن روش حل معادله دیفرانسیل مرتبه دوم
وقتی ؛ ما چهار نقطه گره‌ای داریم: و که عبارتند از 0 ، ، و 1.
سیستم معادلات زیر را بدست می آوریم:
از روش حل معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم بجای در شرایط مرزی تخمین را قرار می دهیم، بنابراین شرایط مرزی تبدیل شدند به:
و
با حذف کردن از معادلات داریم:
با حل دستگاه فوق داریم:
معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم غیرخطی .
(Nonlinear Second Order Differential Equation)
به معادله دیفرانسیل غیرخطی مرتبه دوم زیر توجه کنید:
( .91)
با در نظر گرفتن شرایط مرزی
( .92)
معادله دیفرانسیل فوق یک جواب منحصر به فرد خواهد داشت اگر:
(مشتق پاره ای مرتبه اول نسبت به a ) پیوسته و محدود باشد و
و ؛
نقاط گره ای تولید می شوند به وسیله ؛ .
از معادله (7.49) با جایگذاری داریم.
( .93)
دستگاه ( .93) یک دستگاه N معادله، N+2 مجهول میباشد ؛ بنابراین ما نیاز داریم به دو یا بیشتر معادله در شرایط مرزی مسأله، بدین منظور ادامه می دهیم، می نویسیم:
( .94)
به طوریکه ثابت های قراردادی هستند.
خطای برش داخلی حاصل از ( .94) به فرم زیر نوشته می شود.
( .95)
با بسط سری تیلور حول نقطه داریم:
به دو معادله برای تعیین نمودن و نیاز داریم، با قرار دادن ضرایب و مساوی صفر به معادلات زیر می رسیم:
و
که نتیجه می دهد و .
بنابراین، از معادله ( .94) ،
( .96)
به طوریکه .
بدست می آوریم
یا
( .97)
این معادله یک تقریب تفاضلی برای شرایط مرزی در نقطه و یا به طور مشابه در بدست می دهد.
( .98)
که
حال داریم:
یا
( .99)
این معادله یک تقریب تفاضلی برای شرایط مرزی در نقطه بدست می دهد.
بنابراین معادلات ( .93) ، ( .97) برای و ( .99) یک دستگاه N+2 معادله N+2 مجهول بدست می دهد. این دستگاه معادلات عبارتست از:
( .100)
به طوریکه
این سیستم معادلات غیرخطی به روش نیوتن با هر روش تکراری دیگر حل می شود.
روش تکراری (Itratio Method)
روش ساده تکراری (Scheme) برای حل معادله غیرخطی ( .100) به صورت زیر است:
( .107)
عضو تکراری که توسط مربعات جزء صحیح و مشخص می شود و فرم خطی ( .107) را می توان به فرم ماتریس زیر درآورد.
( .102)
به طوری که:
؛
؛
روش نیوتن – رافسون.
(Newton – Raphson Method)
معادله ( .100) را می توان به فرم ( .103) نوشت به طوریکه:
ژاکوبین عبارتست از:
به طوری که:
و و و
و
با یک تقریب اولیه مناسب شروع می کنیم، قرار می دهیم.
به طوریکه عبارتست از یک حل
؛
مثال 3 : مسأله مقدار مرزی زیر را وقتی حل کنید.
؛ ؛
حل. برای حل این مسأله یک روش حل تفاضلی برای معادله دیفرانسیل مرتبه دوم به کار می بریم.
چهار نقطه گره‌ای ؛ عبارتست از ، ، و 1 . مقادیر در نقاط تا توسط شرایط مرزی مشخص می شوند، می‌دهد به ما و حال سیستم معادلات زیر را داریم.
؛
با در نظر گرفتن شرایط مرزی و معادلات زیر را داریم:
این سیستم معادلات می تواند توسط هر روش تکراری حل شود. ما به کار می بریم روش نیوتن – رافسون برای حل این سیستم؛ داریم.
؛
؛
بنابراین، ما داریم:
ماتریس ژاکوبین را معکوس نموده داریم،
به طوری که
با یک تکرار دیگر بدست می آوریم:
با قرار دادن و ؛ نتایج زیر را بدست می آوریم:
؛
؛
؛
روش های عناصر متناهی:
(FINITE ELEMENT METHODS)
در این بخش، یک استدلال خلاصه از چگونگی پیاده سازی روشهای عناصر متناهی برای حل مسائل مقدار مرزی در معادلات دیفرانسیل معمولی ارائه می دهیم.
به تابع‌وار زیر توجه کنید:
( .137)
با در نظر گرفتن شرایط مرزی
( .138)
فرض کنیم F تابعی به دفعات دیفرانسیل پذیر باشد. یکااکستریم از تابع‌وار ( .137)با در نظر گرفتن شرایط ( .138) می یابیم، شرایط لازم برای وجود یک اکستریم در تابع‌وار ( .137) عبارتست از اینکه تغییراتش به صفر برسد. معادله زیر را داریم:
( .139)
این معادله اکستریم را روی منحنی مشخص می نماید. این معادله، معادله اویلر نامیده می شود و انتگرال خطرهای این معادله «اکسترمال» نامیده می شوند. تابع‌وار (.137) می تواند یک اکسترمم را از یک اکسترمال بدست دهد. می توان معادله اویلر را به فرم زیر نیز به کار برد.
( .140)
اگر جواب معادله اویلر منحصر به فرد باشد، سپس این جواب راه حل برای مسأله متغیر فراهم می کند. به طوریکه جواب مسأله متغیر نیز راه حلی برای معادله دیفرانسیل ارائه می دهد.
( .141)
به طوریکه یک تابع ممکن است وقتی که شرایط مرزی در هم آمیخته تعیین شده باشند، به مسأله مقدار مرزی زیر توجه کنید:
( .142)
تحت شرایط مرزی ( .138)
می توانیم درستی رابطه زیر را که از معادله دیفرانسیل ( .142) بدست می‌آید، تحقیق کنیم:
( .143)
زمانی که در x = a و x = b ثابت است، قرار دهید.
سپس با استفاده از معادله اویلر و معادله ( .143) داریم:
یا
که همان معادله ( .142) می باشد.
حال به موردی که شرایط مرزی در هم آمیخته اند توجه کنید:
( .144)
( .145)
در این مورد، مسأله مقدار متغیر می دهد به ما:
( .146)
به طوری که
اگر در ( .144) ، ، سپس در ( .146) مساوی صفر است،
اگر در ( .145) ، ، سپس در ( .146) برابر با صفر است.
روش حل مسأله متغیر (Solution of the variation problem)
بازده را به تعداد متناهی زیر بازه‌های غیرمشترک یا عناصر تقسیم می کنیم، در هر عنصر به جای u یک تابع تقریبی w از
( .137) یا.141) (جایگزین می کنیم، که هر کدام از آنها پیوسته بوده و در نقاط تعریف شده اند. شرایط لازم برای وجود یک اکسترمم یک سیستم از معادلات دیفرانسیل (خطی یا غیرخطی) را بدست می دهد.
( .147) و
فرمت این مقاله به صورت Word و با قابلیت ویرایش میباشد
تعداد صفحات این مقاله 43 صفحه
پس از پرداخت ، میتوانید مقاله را به صورت انلاین دانلود کنید
دانلود مقاله معادلات دیفرانسیل – روش های تفاضل متناهی