لینک پرداخت و دانلود *پایین صفحه*
فرمت فایل : Word(قابل ویرایش و آماده پرینت)
تعداد صفحه :9
گاهی اوقات هنگام کار کردن با برخی از مسائل ریاضی نتایجی پدیدار می شود که در ظاهر هیچ ارتباطی به مسئله مورد بررسی ندارد. به عنوان مثال حین حل مسئله ای در مورد تبدیلات لاپلاس به نتایج غیر منتظره ای دست پیدا می کنیم که شامل نیمه ی اول از سطرهای مثلث پاسکال است.
این نتایج با برابر قرار دادن دو عبارت که دارای مقادیر یکسان هستند به دست می آیند. یکی از این عبارات مربوط به ترکیبیات است که در تکنیک های ریاضی بیشتر متداول است و عبارت دیگر که کمتر مرسوم است مربوط به تبدیلات لاپلاس است.
یادآوری تبدیل لاپلاس:
فرض کنیم تابعfبر بازه یتعریف شده باشد.انتگرال ناسره را در نظر می گیریم. در رابطه ی بالا sعددی حقیقی است.
فرض کنیم که انتگرال بالا به ازای sهای متعلق به یک مجموعه از اعداد حقیقی مانند s همگرا باشد در این صورت تابع F به صورت L تعریف می کنیم که تابع F را تبدیل لاپلاس تابع f می نامیم.
در دو لم زیر L را برای اعداد صحیح نا منفی به دو روش بدست می آوریم .
توجه شود درهر دو لم Lبه زوج یا فرد بودن nبستگی دارد.
لم1
= L
اثبات:
قرار دهید:
=
دو بار مشتق می گیریم از
(رابطه*)
می دانیم تبدیل لاپلاس مشتق دوم تابع به صورت رابطه ی زیر است
از آنجا که برای تابعداریمپس
(1)
از طرفین(رابطه * )لاپلاس می گیریم
(1)را جایگذاری می کنیم
(2)
بنا براین یک رابطه ی بازگشتی خواهیم داشت.می دانیم که
و
برایروابط را بررسی می کنی
که با به کار گیر ی استقرای ریاضی به ازای nهای زوج وفرد لم مورد نظر اثبات می شود
لم2
اثبات:
با استفاده از اتحاد,را بسط می دهیم
با قرار دادن ,در بسط نیوتن خواهیم داشت
طرفین اتحاد را به توان nمی رسانیم
از طرفین لاپلاس می گیریم لم نتیجه می شود. اثبات برای حالت فرد مشابه است.
قضیه
اثبات:
ابتدا برای حالت زوج اثبات می کنیم.
با ترکیب جملات در عبارت زیر(قسمت اول از لم(1))به یک عبارت گویا به فرم
میرسیم. p(s)/q(s
تحقیق در مورد مجموع برخی از نیم سطرهای مثلث پاسکال از طریق تبدیلات لاپلاس